Песни далекой Земли [сборник] - Артур Кларк

Брэдли очень надеялся, что ожидаемый звонок прозвучит до того, как он покинет замок…

Он никогда не встречался с типичной фанатичной мамочкой, но видел подобных персонажей в кино. Как же назывался тот старый фильм? Ах, конечно, «Слава»[32]. В нем мать тоже страстно желала, чтобы ее дитя стало звездой, пусть то и не обладало особым талантом. Однако Брэдли не сомневался, что в случае Крейгов материнская вера оправданна.

— Прежде чем Ада возьмет слою, — сказала Эдит, — хочу сделать несколько замечаний. Множество Мандельброта — сложнейший комплексный математический объект. Однако для его создания требуются лишь простейшие действия — сложение и умножение. Можно обойтись даже без вычитания, не говоря о делении! Вот почему людям, хорошо знающим математику, тяжело его осознать. Они не верят, что модель, состоящая из бесконечного количества деталей, образуется без логарифмических, тригонометрических функций и прочих заумных штук. Невероятно, но в преобразованиях действительно участвует лишь обыкновенное сложение.

— Не понимаю. Если все настолько просто, почему до этого не додумались давным-давно?

— Отличный вопрос! Все логично. Слишком много сложения и умножения, слишком много невероятно больших чисел. Не обойтись без высокоскоростных компьютеров. Если бы Адаму с Евой и всем их потомкам до сегодняшнего дня выдали абаки, большую часть изображений множества все равно не удалось бы получить. Ада же покажет их вам, нажав всего несколько клавиш. Приступай, дорогая…

Хозяева спрятали голографический проектор настолько хитро, что Брэдли не смог определить, откуда проецируется картинка. «Замок стоит населить привидениями, — подумал он. — Будут отпугивать грабителей получше любой сигнализации».

В воздухе возникли две пересекающиеся под прямым углом линии — обычная система координат х-у. В четырех направлениях расходились последовательности чисел — 0, 1, 2, 3, 4…

Ада снова посмотрела на Брэдли в упор. Девочка будто в очередной раз попыталась определить его коэффициент интеллекта, чтобы понять, на каком уровне объяснять очевидные для нее вещи.

— Любую точку на этой плоскости, — начала она, — можно описать двумя числами — координатами х и у. Понятно?

— Понятно, — торжественно ответил Брэдли.

— Так вот: множество Мандельброта находится в очень маленькой области вокруг нашей точки, не дальше плюс- минус двух единиц по оси абсцисс и ординат. Значения вне этого квадрата не рассматриваем.

Теперь на координатной сетке остались только значения, не превышающие двух по модулю.

— Возьмем любую точку внутри сетки и соединим ее с центром. Измерим длину радиуса и назовем ее r.

«Пока мозг не особо напрягается, — подумал Брэдли. — Когда же начнутся сложности?»

— Очевидно, в данном случае r принимает значение от нуля до чуть менее трех. Если точнее, не более двух целых восьми десятых. Ясно?

— Ясно.

— Хорошо. Теперь первое упражнение. Берем величину r любой точки и возводим в квадрат. И снова возводим в квадрат, и еще раз. Что получается?

— Ада, давай лучше сама. А то испорчу все веселье.

— Если r равна единице, результирующая величина не изменится, сколько ни возводи ее в квадрат. Один умножить на один умножить на один — всегда единица.

— Так, — согласился Брэдли. Пока он понимал разъяснения Ады.

— Если число хоть на капельку больше единицы и вы начнете множить его само на себя, то раньше или позже оно улетит в бесконечность, даже если это единица и одна миллионная. Разве что придется долго считать.

Но если наше число хотя бы чуточку меньше одного — скажем, ноль целых, девять девять девять и так далее миллионных, — получится совсем наоборот. Оно будет держаться около единицы, но стоит пару раз возвести его в квадрат, как число вдруг съежится и полетит к нулю. Понятно?

На этот раз Брэдли переваривал медленнее, чем Ада говорила. Он просто кивнул. Гость пока не догадывался, куда ведет эта элементарная арифметика, но цель у нее определенно была.

— Леди, перестань приставать к мистеру Брэдли! В общем, вы видите, что непрерывное возведение чисел в квадрат делит их на два четких множества…

На пересекающихся осях появился кружок. В центре его находилась изначальная точка.

— Внутри круга — числа, исчезающие при умножении самих на себя. За пределами — числа, стремящиеся в бесконечность. Можно сказать, окружность с радиусом, равным единице, — что-то вроде забора, рубежа, разделяющего две области. Множество же точек этой окружности назовем «К».

— «К» — значит «квадрат»?

— Конеч… Да. Теперь нужно сказать кое-что важное. Числа по обе стороны полностью отделены друг от друга. Через границу не способно проникнуть ничто. Но сама она бесплотна. У нее нет толщины. Это линия. Можно увеличивать ее вечно, и ничего не изменится. Правда, вскоре она станет прямой. Вы перестанете замечать изгиб.

— Все это прекрасно, — вмешался Дональд, — но пока Ада излагает азы. Вскоре вы поймете почему. Прости, Ада.

— Продолжим. Чтобы получить множество Мандельброта, нужно сделать малюсенькое изменение. Давайте не просто возводить числа в квадрат. Будем возводить их в квадрат и складывать… возводить в квадрат и складывать. Кажется, особой разницы нет. Но такие действия открывают целую неизведанную вселенную…

Вернемся к единице. Возводим ее в квадрат. Получаем единицу. Складываем один и один. Получаем два.

Два в квадрате — четыре. Прибавляем изначальную единицу. Получаем пять.

Пять в квадрате — двадцать пять, плюс один — двадцать шесть.

Двадцать шесть в квадрате — шестьсот семьдесят шесть. Видите, что происходит? Числа растут с фантастической скоростью. Еще несколько итераций — и они невероятно распухнут. Даже компьютер с трудом справится с ними. А ведь мы начали с единицы! Таково первое важное отличие между множеством Мандельброта и множеством «К», ограниченным единицей.

Но если спуститься до числа намного меньше единицы — скажем, до ноль целых одной десятой… догадываетесь, что произойдет?

— Оно будет стремиться к нулю после первых циклов умножения и сложения.

Ада ответила ослепительной улыбкой, столь редко возникающей на ее губах.

— Обычно так и происходит. Иногда число держится около небольшой фиксированной величины. В любом случае оно находится внутри множества, как в ловушке. И снова все числа плоскости делятся на два класса. Но на этот раз граница посложнее окружности.

— Позвольте вмешаться, — едва слышно сказал Дональд, чем заслужил сердитый взгляд Эдит. Но нахмуренные брови жены его не остановили. — Я спрашивал у людей: каковы, по их мнению, будут очертания линии. Большинство поставило на нечто вроде овала. Но ни один не додумался до верного ответа. Ладно, ладно, леди! Больше не буду прерывать нашего оратора!